বিষয়বস্তু
এই প্রকাশনায়, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সংজ্ঞা, সেইসাথে যে পদ্ধতিগুলি দ্বারা এটি পাওয়া যেতে পারে তা বিবেচনা করব। অনুশীলনে তত্ত্বের প্রয়োগ প্রদর্শনের জন্য আমরা উদাহরণগুলিও বিশ্লেষণ করব।
একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করা
ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক সারি বা কলামের সিস্টেমের র্যাঙ্ক। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের সারি এবং কলামের র্যাঙ্ক থাকে, যেগুলো একে অপরের সমান।
সারি সিস্টেম র্যাঙ্ক রৈখিকভাবে স্বাধীন সারির সর্বাধিক সংখ্যা। কলাম সিস্টেমের র্যাঙ্ক একইভাবে নির্ধারিত হয়।
নোট:
- শূন্য ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক (চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় “θ“) যেকোনো আকারের শূন্য।
- যেকোনো অশূন্য সারি ভেক্টর বা কলাম ভেক্টরের র্যাঙ্ক একের সমান।
- যদি কোনো আকারের একটি ম্যাট্রিক্সে কমপক্ষে একটি উপাদান থাকে যা শূন্যের সমান নয়, তাহলে এর র্যাঙ্ক একের কম নয়।
- একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার ন্যূনতম মাত্রার চেয়ে বেশি নয়।
- একটি ম্যাট্রিক্সে সম্পাদিত প্রাথমিক রূপান্তরগুলি এর র্যাঙ্ক পরিবর্তন করে না।
একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খোঁজা
ফ্রিংিং মাইনর পদ্ধতি
একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক একটি অশূন্যের সর্বোচ্চ ক্রমের সমান।
অ্যালগরিদম নিম্নরূপ: সর্বনিম্ন অর্ডার থেকে সর্বোচ্চ পর্যন্ত অপ্রাপ্তবয়স্কদের খুঁজুন। নাবালক হলে nতম ক্রম শূন্যের সমান নয় এবং পরবর্তী সমস্ত (n+1) 0 এর সমান, তাই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক n.
উদাহরণ
এটি পরিষ্কার করার জন্য, আসুন একটি ব্যবহারিক উদাহরণ নেওয়া যাক এবং ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করা যাক A নীচে, অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানার পদ্ধতি ব্যবহার করে।
সমাধান
আমরা একটি 4 × 4 ম্যাট্রিক্স নিয়ে কাজ করছি, তাই, এর র্যাঙ্ক 4-এর বেশি হতে পারে না। এছাড়াও, ম্যাট্রিক্সে অ-শূন্য উপাদান রয়েছে, যার অর্থ হল এর র্যাঙ্ক একের কম নয়। চল শুরু করা যাক:
1. পরীক্ষা করা শুরু করুন দ্বিতীয় আদেশের নাবালক. শুরু করার জন্য, আমরা প্রথম এবং দ্বিতীয় কলামের দুটি সারি নিই।
মাইনর সমান শূন্য।
অতএব, আমরা পরবর্তী মাইনরে চলে যাই (প্রথম কলামটি রয়ে যায় এবং দ্বিতীয়টির পরিবর্তে আমরা তৃতীয়টি গ্রহণ করি)।
অপ্রাপ্তবয়স্ক হল 54≠0, তাই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক কমপক্ষে দুটি।
বিঃদ্রঃ: যদি এই অপ্রাপ্তবয়স্কটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত সংমিশ্রণগুলি আরও পরীক্ষা করব:
প্রয়োজন হলে, স্ট্রিংগুলির সাথে একইভাবে গণনা চালিয়ে যেতে পারে:
- 1 এবং 3;
- 1 এবং 4;
- 2 এবং 3;
- 2 এবং 4;
- 3 এবং 4
যদি সমস্ত দ্বিতীয়-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক একের সমান হবে।
2. আমরা প্রায় অবিলম্বে একজন নাবালককে খুঁজে বের করতে পেরেছিলাম যা আমাদের জন্য উপযুক্ত। তাই চলুন চলুন তৃতীয় আদেশের নাবালক.
দ্বিতীয় ক্রমটির পাওয়া অপ্রাপ্তবয়স্ক, যা একটি অ-শূন্য ফলাফল দিয়েছে, আমরা একটি সারি এবং সবুজ রঙে হাইলাইট করা একটি কলাম যুক্ত করি (আমরা দ্বিতীয়টি থেকে শুরু করি)।
নাবালক শূন্য হয়ে গেল।
অতএব, আমরা দ্বিতীয় কলামটি চতুর্থ থেকে পরিবর্তন করি। এবং দ্বিতীয় প্রচেষ্টায়, আমরা একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক খুঁজে বের করতে পারি যা শূন্যের সমান নয়, যার মানে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক 3 এর কম হতে পারে না।
বিঃদ্রঃ: যদি ফলাফলটি আবার শূন্য হয়, দ্বিতীয় সারির পরিবর্তে, আমরা চতুর্থটিকে আরও এগিয়ে নিয়ে যাব এবং একটি "ভাল" নাবালকের জন্য অনুসন্ধান চালিয়ে যাব।
3. এখন এটা নির্ধারণ করা অবশেষ চতুর্থ আদেশের নাবালক আগে যা পাওয়া গিয়েছিল তার উপর ভিত্তি করে। এই ক্ষেত্রে, এটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সাথে মেলে।
মাইনর সমান 144≠0। মানে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক A 4 এর সমান।
ধাপে ধাপে একটি ম্যাট্রিক্সের হ্রাস
একটি স্টেপ ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার অ-শূন্য সারির সংখ্যার সমান। অর্থাৎ, আমাদের যা করতে হবে তা হল ম্যাট্রিক্সটিকে উপযুক্ত ফর্মে আনতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, ব্যবহার করে, যা আমরা উপরে উল্লেখ করেছি, এর র্যাঙ্ক পরিবর্তন করবেন না।
উদাহরণ
একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন B নিচে. আমরা একটি অত্যধিক জটিল উদাহরণ গ্রহণ করি না, কারণ আমাদের মূল লক্ষ্য হল পদ্ধতির প্রয়োগকে অনুশীলনে প্রদর্শন করা।
সমাধান
1. প্রথমে, দ্বিতীয় লাইন থেকে প্রথম দ্বিগুণ বিয়োগ করুন।
2. এখন তৃতীয় সারি থেকে প্রথম সারিটি বিয়োগ করুন, চার দিয়ে গুণ করুন।
এইভাবে, আমরা একটি স্টেপ ম্যাট্রিক্স পেয়েছি যেখানে নন-জিরো সারির সংখ্যা দুইটির সমান, তাই এর র্যাঙ্কও 2 এর সমান।