এই প্রকাশনায়, আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতি কী, কেন এটি প্রয়োজন এবং এর নীতি কী তা বিবেচনা করব। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য পদ্ধতিটি কীভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে আমরা একটি ব্যবহারিক উদাহরণ ব্যবহার করে দেখাব।
গাউস পদ্ধতির বর্ণনা
গাউস পদ্ধতি সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত চলকগুলির ক্রমিক নির্মূলের শাস্ত্রীয় পদ্ধতি। এটি জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস (1777-1885) এর নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে।
কিন্তু প্রথমে, আমাদের মনে করা যাক যে SLAU পারে:
- একটি একক সমাধান আছে;
- একটি অসীম সংখ্যক সমাধান আছে;
- বেমানান হতে, অর্থাৎ কোন সমাধান নেই।
ব্যবহারিক সুবিধা
গাউস পদ্ধতি একটি SLAE সমাধান করার একটি দুর্দান্ত উপায় যাতে তিনটির বেশি রৈখিক সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত থাকে, সেইসাথে বর্গাকার নয় এমন সিস্টেম।
গাউস পদ্ধতির নীতি
পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:
- সোজা – সমীকরণের সিস্টেমের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বর্ধিত ম্যাট্রিক্স, সারির উপরে থেকে উপরের ত্রিভুজাকার (ধাপযুক্ত) আকারে হ্রাস করা হয়, অর্থাৎ প্রধান তির্যকের নীচে কেবলমাত্র শূন্যের সমান উপাদান থাকা উচিত।
- পিছনে – ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে, প্রধান তির্যকের উপরের উপাদানগুলিও শূন্যে সেট করা হয়েছে (নিম্ন ত্রিভুজাকার দৃশ্য)।
SLAE সমাধান উদাহরণ
আসুন গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে নীচের রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করি।
সমাধান
1. শুরুতে, আমরা একটি প্রসারিত ম্যাট্রিক্স আকারে SLAE উপস্থাপন করি।
2. এখন আমাদের কাজ হল মূল তির্যকের অধীনে সমস্ত উপাদান পুনরায় সেট করা। পরবর্তী ক্রিয়াগুলি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের উপর নির্ভর করে, নীচে আমরা সেগুলি বর্ণনা করব যা আমাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। প্রথমে, আমরা সারিগুলিকে অদলবদল করি, এইভাবে তাদের প্রথম উপাদানগুলিকে আরোহী ক্রমে স্থাপন করি।
3. দ্বিতীয় সারি থেকে প্রথম থেকে দুবার বিয়োগ করুন এবং তৃতীয় থেকে - প্রথমটি তিনগুণ করুন।
4. তৃতীয় লাইনে দ্বিতীয় লাইন যোগ করুন।
5. প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয় লাইনটি বিয়োগ করুন এবং একই সাথে তৃতীয় লাইনটিকে -10 দ্বারা ভাগ করুন।
6. প্রথম পর্যায় সম্পন্ন হয়েছে। এখন আমাদের মূল তির্যকের উপরে নাল উপাদানগুলি পেতে হবে। এটি করার জন্য, প্রথম সারি থেকে 7 দ্বারা গুণিত তৃতীয়টি বিয়োগ করুন এবং দ্বিতীয়টিতে 5 দ্বারা গুণিত তৃতীয়টি যোগ করুন।
7. চূড়ান্ত বর্ধিত ম্যাট্রিক্স দেখতে এইরকম:
8. এটি সমীকরণের সিস্টেমের সাথে মিলে যায়:
উত্তর: মূল SLAU: x = 2, y = 3, z = 1