একটি ফাংশনের সীমা কত

এই প্রকাশনায়, আমরা গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি প্রধান ধারণা বিবেচনা করব - একটি ফাংশনের সীমা: এর সংজ্ঞা, সেইসাথে ব্যবহারিক উদাহরণ সহ বিভিন্ন সমাধান।

একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করা

ফাংশন সীমা – যে মানটির দিকে এই ফাংশনের মান প্রবণ হয় যখন এর যুক্তি সীমাবদ্ধ বিন্দুতে থাকে।

সীমা রেকর্ড:

• সীমাটি আইকন দ্বারা নির্দেশিত হয় লিম;
• ফাংশনের আর্গুমেন্ট (ভেরিয়েবল) কী মান দেয় তা নীচে যোগ করা হয়েছে। সাধারণত এই x, কিন্তু অগত্যা নয়, উদাহরণস্বরূপ:x→1″;
• তারপর ফাংশন নিজেই ডানদিকে যোগ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ:

  

সুতরাং, সীমার চূড়ান্ত রেকর্ডটি এইরকম দেখায় (আমাদের ক্ষেত্রে):

মত পড়ে "ফাংশনের সীমা যেমন x একতাকে প্রবণ করে".

x→ 1 - এর মানে হল যে "x" ধারাবাহিকভাবে এমন মানগুলি গ্রহণ করে যা অসীমভাবে একতার কাছে আসে, কিন্তু কখনই এটির সাথে মিলিত হবে না (এটি পৌঁছানো হবে না)।

সিদ্ধান্তের সীমা

একটি প্রদত্ত নম্বর সহ

আসুন উপরের সীমাটি সমাধান করি। এটি করার জন্য, শুধুমাত্র ফাংশনে ইউনিট প্রতিস্থাপন করুন (কারণ x→1):

সুতরাং, সীমা সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে নীচের ফাংশনে প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি (যদি x একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে থাকে)।

অনন্তের সাথে

এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের যুক্তি অসীম বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, "এক্স" অনন্তের দিকে ঝোঁক (∞)। উদাহরণ স্বরূপ:

If x→∞, তারপর প্রদত্ত ফাংশন বিয়োগ অসীম (-∞), কারণ:

• 3 - 1 = 2
• 3 -10 = -7
• 3 -100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ইত্যাদি

আরেকটি জটিল উদাহরণ

এই সীমা সমাধান করার জন্য, এছাড়াও, শুধুমাত্র মান বৃদ্ধি x এবং এই ক্ষেত্রে ফাংশনের "আচরণ" দেখুন।

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

সুতরাং, জন্য "এক্স"অনন্ত, ফাংশন প্রবণতা x² + 3x - 6 অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়।

অনিশ্চয়তার সাথে (x অসীমের দিকে থাকে)

এই ক্ষেত্রে, আমরা সীমা সম্পর্কে কথা বলছি, যখন ফাংশন একটি ভগ্নাংশ হয়, যার লব এবং হর হল বহুপদ। যার মধ্যে "এক্স" অনন্তের দিকে ঝোঁক।

উদাহরণ: আসুন নীচের সীমা গণনা করা যাক।

সমাধান

লব এবং হর উভয়ের অভিব্যক্তি অসীমতার দিকে ঝোঁক। এটি অনুমান করা যেতে পারে যে এই ক্ষেত্রে সমাধানটি নিম্নরূপ হবে:

যাইহোক, সব এত সহজ নয়। সীমা সমাধান করতে আমাদের নিম্নলিখিতগুলি করতে হবে:

1. সন্ধান করুন x লবের সর্বোচ্চ শক্তিতে (আমাদের ক্ষেত্রে, এটি দুটি)।

2. একইভাবে, আমরা সংজ্ঞায়িত করি x হর জন্য সর্বোচ্চ ক্ষমতা (এছাড়াও দুই সমান)।

3. এখন আমরা লব এবং হর উভয়কে দ্বারা ভাগ করি x সিনিয়র ডিগ্রিতে। আমাদের ক্ষেত্রে, উভয় ক্ষেত্রেই - দ্বিতীয়টিতে, তবে যদি তারা আলাদা হয় তবে আমাদের সর্বোচ্চ ডিগ্রি নেওয়া উচিত।

4. প্রাপ্ত ফলাফলে, সমস্ত ভগ্নাংশ শূন্যের দিকে ঝোঁক, তাই উত্তর হল 1/2।

অনিশ্চয়তার সাথে (x একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে থাকে)

লব এবং হর উভয়ই বহুপদ, তবে, "এক্স" একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে ঝোঁক, অসীমের দিকে নয়।

এই ক্ষেত্রে, আমরা শর্তসাপেক্ষে আমাদের চোখ বন্ধ করি যে হরটি শূন্য।

উদাহরণ: আসুন নীচের ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করি।

সমাধান

1. প্রথমে, ফাংশনে 1 নম্বর প্রতিস্থাপন করা যাক, যার সাথে "এক্স". আমরা যে ফর্মটি বিবেচনা করছি তার অনিশ্চয়তা পাই।

2. এর পরে, আমরা লব এবং হরকে গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি। এটি করার জন্য, আপনি সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করতে পারেন, যদি তারা উপযুক্ত হয়, বা।

আমাদের ক্ষেত্রে, লবের মধ্যে অভিব্যক্তির মূল (2x² - 5x + 3 = 0) হল সংখ্যা 1 এবং 1,5। অতএব, এটি হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে: 2(x-1)(x-1,5).

হর (x-1) প্রাথমিকভাবে সহজ।

3. আমরা এই ধরনের একটি পরিবর্তিত সীমা পাই:

4. ভগ্নাংশটি হ্রাস করা যেতে পারে (x-1):

5. এটি শুধুমাত্র সীমার অধীনে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিতে 1 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করতে রয়ে গেছে: