ফের্মাতের ছোট্ট উপপাদ্য

এই প্রকাশনায়, আমরা পূর্ণসংখ্যার তত্ত্বের অন্যতম প্রধান উপপাদ্য বিবেচনা করব -  ফের্মাতের ছোট্ট উপপাদ্যফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ডি ফার্মাটের নামে নামকরণ করা হয়েছে। আমরা উপস্থাপিত উপাদান একত্রিত করতে সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ বিশ্লেষণ করব।

উপপাদ্যের বিবৃতি

1. প্রাথমিক

If p একটি মৌলিক সংখ্যা a একটি পূর্ণসংখ্যা যা দ্বারা বিভাজ্য নয় pতারপর a^P-1 - 1 দ্বারা বিভক্ত p.

এটি আনুষ্ঠানিকভাবে এই মত লেখা হয়: a^P-1 1 (বিরুদ্ধে p).

বিঃদ্রঃ: একটি মৌলিক সংখ্যা হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যেটি শুধুমাত্র XNUMX দ্বারা বিভাজ্য এবং নিজেই অবশিষ্ট নেই।

উদাহরণ স্বরূপ:

• a = 2
• p = 5
• a^P-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – ৩ = ৮১ – ৩ = ৭৮
• সংখ্যা 15 দ্বারা বিভক্ত 5 একটি অবশিষ্ট ছাড়া.

2. বিকল্প

If p একটি মৌলিক সংখ্যা, a কোন পূর্ণসংখ্যা, তারপর a^p তুলনীয় a মডিউল p.

a^p ≡ ক (বিরুদ্ধে p)

প্রমাণ খোঁজার ইতিহাস

Pierre de Fermat 1640 সালে উপপাদ্য প্রণয়ন করেন, কিন্তু নিজে এটি প্রমাণ করেননি। পরবর্তীতে, এটি গটফ্রিড উইলহেম লাইবনিজ, একজন জার্মান দার্শনিক, যুক্তিবিদ, গণিতবিদ, ইত্যাদি দ্বারা করেছিলেন। এটা বিশ্বাস করা হয় যে 1683 সাল নাগাদ তিনি ইতিমধ্যেই প্রমাণ পেয়েছিলেন, যদিও এটি কখনও প্রকাশিত হয়নি। এটি লক্ষণীয় যে লাইবনিজ নিজেই উপপাদ্যটি আবিষ্কার করেছিলেন, এটি আগে থেকেই প্রণয়ন করা হয়েছিল তা না জেনে।

উপপাদ্যটির প্রথম প্রমাণ 1736 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং এটি সুইস, জার্মান এবং গণিতবিদ এবং মেকানিক লিওনহার্ড অয়লারের অন্তর্গত। Fermat's Little Theorem হল অয়লারের উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

একটি সমস্যার উদাহরণ

একটি সংখ্যার অবশিষ্টাংশ খুঁজুন 2¹² on 12.

সমাধান

আসুন একটি সংখ্যা কল্পনা করা যাক 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই, ফার্মাটের ছোট্ট উপপাদ্য দ্বারা আমরা পাই:

2¹¹ 2 (বিরুদ্ধে 11).

তাই, 2⋅2¹¹ 4 (বিরুদ্ধে 11).

তাই সংখ্যা 2¹² দ্বারা বিভক্ত 12 একটি অবশিষ্ট সঙ্গে সমান 4.